Secciones Cónicas - Elipse

Definición y Ecuación General

Una sección cónica elíptica o simplemente elipse se produce de la intersección entre un cono y un plano de forma que el ángulo del plano relativo al cono se encuentra entre la superficie exterior del cono y la base del cono.

También es importante mencionar que esta definición también incluye el caso en el que el plano es paralelo a la base del cono, por lo que los círculos son un caso especial de elipses.

Las características de las elipses son las siguientes:

• El eje mayor es el diámetro más largo de la elipse.
• El eje menor es el diámetro más corto de la elipse.
• El centro es la intersección de los dos ejes.
• Las elipses tienen dos focos y la suma de las distancias desde cualquier punto en la elipse hasta los dos focos es constante.

Cuando el eje mayor es paralelo al eje "x", la ecuación general de una elipse es:

en donde, $(ℎ,�)$ es el centro, 2a es la longitud del eje mayor y 2b es la longitud del eje menor.

Imagen 1. Gráfica de ecuación general de una elipse
Fuente: NeuroChispas

Casos Particulares de la Ecuación General de la Elipse

Ecuación de elipses con centro en el origen: Las ecuaciones de elipses con centro en el origen pueden tener dos variaciones dependiendo de su orientación.

Elipses horizontales con centro en el origen

La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, (0, 0), y en la que su eje mayor es paralelo al eje "x" es:

En donde,

• $a>b$
• El eje mayor tiene una longitud de $2�$
• El eje menor tiene una longitud de $2�$
• Los vértices se ubican en los puntos $(\pm �,0)$
• Los covértices se ubican en los puntos $(0,\pm �)$
• Los focos se ubican en los puntos $(\pm �,0)$, en donde, ${�}^2={�}^2-{�}^2$

Imagen 2. Gráfica de elipse horizontal con centro en el origen
Fuente: NeuroChispas

Elipses verticales con centro en el origen

La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, (0, 0), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y es:

En donde,

• $a>b$
• El eje mayor tiene una longitud de $2�$
• El eje menor tiene una longitud de $2�$
• Los vértices tienen las coordenadas $(0,\pm �)$
• Los covértices tienen las coordenadas $(\pm �,0)$
• Los focos tienen las coordenadas $(0,\pm �)$, en donde, ${�}^2={�}^2-{�}^2$

Imagen 3. Gráfica de elipse vertical con centro en el origen
Fuente: NeuroChispas

Ecuación de elipses con centro fuera del origen: Para encontrar la ecuación de una elipse con el centro ubicado fuera del origen, primero utilizamos la forma estándar de las elipses con el centro en el origen. Luego, aplicamos traslaciones al desplazar la elipse h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, lo que coloca su centro en las coordenadas (h, k).

Entonces, usamos la forma estándar reemplazando a "x" con $(�-ℎ)$ y a "y" con $(�-�)$.

Elipses horizontales con centro fuera del origen

Una elipse que tiene un centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje x, tiene la ecuación:

En donde,

• $a>b$
• La longitud del eje mayor es $2�$
• La longitud del eje menor es $2�$
• Los vértices tienen las coordenadas $(ℎ\pm �,�)$
• Los covértices tienen las coordenadas $(ℎ,�\pm �)$
• Los focos tienen las coordenadas $(ℎ\pm �,�)$, en donde, ${�}^2={�}^2-{�}^2$

Imagen 4. Gráfica de elipse horizontal con centro fuera del origen
Fuente: NeuroChispas

Elipses verticales con centro fuera del origen

Una elipse que tiene al centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y tiene la ecuación:

En donde,

• $a>b$
• El eje mayor mide $2�$
• El eje menor mide $2�$
• Las coordenadas de los vértices son $(ℎ,�\pm �)$
• Las coordenadas de los covértices son $(ℎ\pm �,�)$
• Las coordenadas de los focos son $(ℎ,�\pm �)$, en donde, ${�}^2={�}^2-{�}^2$

Imagen 5. Gráfica de elipse vertical con centro fuera del origen
Fuente: NeuroChispas

Bibliografía

Guzman, J. H. (2022, 3 junio). Secciones cónicas – fórmulas y diagramas. Neurochispas. https://www.neurochispas.com/wiki/secciones-conicas/#5-seccion-conica-%E2%80%93-circulo

Guzman, J. H. (2022, 3 junio). Ecuación de la elipse con ejemplos. Neurochispas. https://www.neurochispas.com/wiki/ecuacion-de-la-elipse/

Mascó de Nasini, A. y López, R. (1982). Lecciones de álgebra y geometría analítica. Buenos Aires, Argentina: Universitaria Cultura Argentina - EUCA